বর্গসূত্র: (a+b)² ও (a−b)²

বাস্তব জীবনের উদাহরণ

কী এটি?

বর্গসূত্র হলো (a+b)² আর (a−b)² এর সম্প্রসারণ। (a+b)² = a² + 2ab + b², আর (a−b)² = a² − 2ab + b²। এগুলো বীজগণিতের সবচেয়ে বেসিক কিন্তু পাওয়ারফুল সূত্র — প্রায় প্রতিটা চ্যাপ্টারেই কোনো না কোনোভাবে লাগে!

বাস্তব প্রয়োগ

বাংলাদেশে জমি মাপা হয় শতক বা বিঘায়। যদি একটি বর্গাকার জমির এক পাশ 10 মিটার থেকে 2 মিটার বাড়ানো হয়, তাহলে নতুন ক্ষেত্রফল (10+2)² = 144 বর্গমিটার। সূত্র ছাড়া এটা বের করা কঠিন হতো। ইঞ্জিনিয়াররা বিল্ডিং ডিজাইনে, আর ব্যবসায়ীরা জমির দাম হিসাবে এই সূত্র ব্যবহার করেন।

মূল পয়েন্টসমূহ

• (a+b)² সূত্রটি কী? — (a+b)² = a² + 2ab + b²। এটি মানে (a+b) কে নিজের সাথে গুণ করা। মনে রাখো: প্রথমটার বর্গ + দুইয়ের গুণ দুটোর গুণফল + শেষটার বর্গ।
• (a−b)² সূত্রটি কী? — (a−b)² = a² − 2ab + b²। বিয়োগের ক্ষেত্রে মাঝের পদটি ঋণাত্মক হয়। কিন্তু শেষ পদ b² সবসময় ধনাত্মক কারণ ঋণাত্মক × ঋণাত্মক = ধনাত্মক।
• জ্যামিতিক ব্যাখ্যা (Geometric Interpretation) — একটি বর্গক্ষেত্রের বাহু (a+b) হলে, তার ক্ষেত্রফল চারটি অংশে ভাগ করা যায়: a² আকারের একটি বর্গ, b² আকারের একটি বর্গ, এবং ab আকারের দুটি আয়তক্ষেত্র। তাই মোট = a² + 2ab + b²।
• ⚠️ সাধারণ ভুল: 2ab ভুলে যাওয়া — অনেক শিক্ষার্থী লেখে (a+b)² = a² + b²। এটি ভুল! মাঝের 2ab পদটি অবশ্যই থাকবে। মনে রাখো: দুটো জিনিস গুণ করলে ক্রস-টার্ম (cross term) আসবেই।
• সংখ্যা দিয়ে যাচাই — a=3, b=2 ধরি। (3+2)² = 5² = 25। আবার সূত্র দিয়ে: 3² + 2×3×2 + 2² = 9 + 12 + 4 = 25। মিলে গেল! এভাবে যেকোনো সূত্র সংখ্যা দিয়ে চেক করতে পারো।
• দ্রুত গণনায় ব্যবহার — 51² বের করতে হবে? লেখো (50+1)²। সূত্র দিয়ে: 50² + 2×50×1 + 1² = 2500 + 100 + 1 = 2601। ক্যালকুলেটর ছাড়াই উত্তর!
• 49² বের করা (a−b)² দিয়ে — 49² = (50−1)²। সূত্র দিয়ে: 50² − 2×50×1 + 1² = 2500 − 100 + 1 = 2401। পরীক্ষায় এই ধরনের প্রশ্ন প্রায়ই আসে।
• (a+b)² এবং (a−b)² এর সম্পর্ক — (a+b)² − (a−b)² = 4ab এবং (a+b)² + (a−b)² = 2(a² + b²)। এই দুটি সম্পর্ক পরীক্ষায় খুবই গুরুত্বপূর্ণ। এগুলো মুখস্থ না করে বরং বুঝে বের করো।
• পরীক্ষার ধরন: সম্প্রসারণ করো — পরীক্ষায় সাধারণত বলা হয় 'সম্প্রসারণ করো' বা 'বর্গ নির্ণয় করো'। ধাপে ধাপে লেখো: প্রথমে সূত্র লেখো, তারপর মান বসাও, তারপর সরলীকরণ করো।

কোড উদাহরণ

উদাহরণ ১: (3x + 5)² সম্প্রসারণ করো

ধাপ ১: সূত্র লিখি — (a+b)² = a² + 2ab + b²
ধাপ ২: এখানে a = 3x, b = 5
ধাপ ৩: (3x)² + 2×(3x)×5 + 5²
ধাপ ৪: 9x² + 30x + 25
∴ (3x + 5)² = 9x² + 30x + 25

────────────────────────────

উদাহরণ ২: (4a − 3b)² সম্প্রসারণ করো

ধাপ ১: সূত্র লিখি — (a−b)² = a² − 2ab + b²
ধাপ ২: এখানে a = 4a, b = 3b
ধাপ ৩: (4a)² − 2×(4a)×(3b) + (3b)²
ধাপ ৪: 16a² − 24ab + 9b²
∴ (4a − 3b)² = 16a² − 24ab + 9b²

────────────────────────────

উদাহরণ ৩: 102² নির্ণয় করো (সূত্র ব্যবহার করে)

ধাপ ১: 102 = 100 + 2
ধাপ ২: (100 + 2)² = 100² + 2×100×2 + 2²
ধাপ ৩: = 10000 + 400 + 4
ধাপ ৪: = 10404
∴ 102² = 10404

লাইন-বাই-লাইন ব্যাখ্যা

1. 1. ধাপ ১: সূত্র চিনে নাও — (a+b)² নাকি (a−b)²? যোগ থাকলে প্রথমটা, বিয়োগ থাকলে দ্বিতীয়টা।
2. 2. ধাপ ২: a ও b চিহ্নিত করো। যেমন (3x + 5) তে a = 3x, b = 5।
3. 3. ধাপ ৩: সূত্র লেখো — (a+b)² = a² + 2ab + b²
4. 4. ধাপ ৪: a ও b এর মান বসাও — (3x)² + 2×(3x)×5 + 5²
5. 5. ধাপ ৫: প্রতিটি পদ আলাদাভাবে সরলীকরণ করো — 9x² + 30x + 25
6. 6. ধাপ ৬: চেক করো — পদ সংখ্যা ৩টি হওয়া উচিত, শেষ পদ সবসময় ধনাত্মক।

বাগ খুঁজে বের করুন

(5x − 2y)² = 25x² − 10xy + 4y²

একদম সহজ ভাষায়

মজার তথ্য

হ্যান্ডস-অন চ্যালেঞ্জ

আরও রিসোর্স

• বর্গসূত্র সহজে শিখো (10 Minute School)
• Square of a Binomial (Math is Fun)
• Expanding (a+b)² (Khan Academy)
• বর্গসূত্রের জ্যামিতিক প্রমাণ (GeoGebra)