পাঠ 17 / 78 intermediate

ঘনসূত্র: (a+b)³ ও (a−b)³

ঘনসূত্র — 3D তে সম্প্রসারণ, ভয়ের কিছু নেই!

ইন্টারঅ্যাক্টিভ ভার্সন খুলুন (কুইজ + চ্যালেঞ্জ)

বাস্তব জীবনের উদাহরণ

বর্গসূত্র ছিল 2D — চকলেটের ফ্ল্যাট প্যাকেটের মতো। ঘনসূত্র হলো 3D — চকলেট বক্সের মতো! (a+b)³ মানে একটা কিউব যার প্রতি পাশ (a+b)। এই কিউবকে কাটলে ৮টা টুকরো পাবে: 1টা a³, 3টা a²b, 3টা ab², 1টা b³। সহগ? 1, 3, 3, 1 — মনে রাখো এটা!

কী এটি?

ঘনসূত্র হলো (a+b)³ আর (a−b)³ এর সম্প্রসারণ। (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, আর (a−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³। চিহ্নের প্যাটার্ন মনে রাখো: (a+b)³ তে সব +, আর (a−b)³ তে পালা করে +, −, +, −!

বাস্তব প্রয়োগ

বাংলাদেশের নির্মাণ শিল্পে কংক্রিটের ঘনক পরীক্ষা (cube test) করা হয়। যদি একটি কংক্রিট ব্লকের বাহু 15 সেমি হয়, তার আয়তন 15³ = 3375 ঘন সেমি। ঘনসূত্র জানা থাকলে (10+5)³ দিয়ে দ্রুত হিসাব করা সম্ভব।

মূল পয়েন্টসমূহ

(a+b)³ সূত্রটি কী? — (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³। এটিকে আরেকভাবে লেখা যায়: a³ + b³ + 3ab(a+b)। দ্বিতীয় রূপটি অনেক সমস্যায় বেশি কাজে আসে।
(a−b)³ সূত্রটি কী? — (a−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³। লক্ষ্য করো চিহ্নগুলো পর্যায়ক্রমে +, −, +, − হচ্ছে। বিকল্প রূপ: a³ − b³ − 3ab(a−b)।
জ্যামিতিক ব্যাখ্যা (3D) — একটি ঘনকের বাহু (a+b) হলে তার আয়তন (a+b)³। এই ঘনকটি ৮টি ছোট ঘনক ও আয়তঘনকে ভাগ হয়: 1টি a³, 3টি a²b আকারের, 3টি ab² আকারের, 1টি b³।
সহগের ধরন: প্যাস্কেলের ত্রিভুজ (Pascal's Triangle) — বর্গে সহগ ছিল 1, 2, 1। ঘনে সহগ হলো 1, 3, 3, 1। এটি প্যাস্কেলের ত্রিভুজের তৃতীয় সারি। চতুর্থ ঘাতে হবে 1, 4, 6, 4, 1।
⚠️ সাধারণ ভুল: সহগ ভুলে যাওয়া — অনেকে (a+b)³ = a³ + b³ লেখে, মাঝের পদগুলো ভুলে যায়। আবার কেউ 3a²b কে a²b লেখে। মনে রাখো: ঘনে মাঝের সহগ 3, 3।
সংখ্যা দিয়ে উদাহরণ — 11³ = (10+1)³ = 10³ + 3×10²×1 + 3×10×1² + 1³ = 1000 + 300 + 30 + 1 = 1331।
বিকল্প রূপের ব্যবহার — (a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b) — এই রূপটি ব্যবহার করো যখন a+b ও ab দেওয়া থাকে। যেমন a+b = 5, ab = 6 হলে (a+b)³ = a³+b³+3×6×5, অর্থাৎ 125 = a³+b³+90, তাই a³+b³ = 35।
পরীক্ষার ধরন: সম্প্রসারণ করো — পরীক্ষায় (2x + 3y)³ বা (x − 2)³ সম্প্রসারণ করতে বলে। সূত্রে a, b এর মান বসাও, প্রতিটি পদ আলাদাভাবে হিসাব করো।

কোড উদাহরণ

উদাহরণ ১: (x + 3)³ সম্প্রসারণ করো

ধাপ ১: সূত্র: (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
ধাপ ২: a = x, b = 3
ধাপ ৩: x³ + 3×x²×3 + 3×x×9 + 27
ধাপ ৪: x³ + 9x² + 27x + 27
∴ (x + 3)³ = x³ + 9x² + 27x + 27

────────────────────────────

উদাহরণ ২: (2a − b)³ সম্প্রসারণ করো

ধাপ ১: সূত্র: (a−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
ধাপ ২: a = 2a, b = b
ধাপ ৩: (2a)³ − 3(2a)²(b) + 3(2a)(b)² − b³
ধাপ ৪: 8a³ − 12a²b + 6ab² − b³
∴ (2a − b)³ = 8a³ − 12a²b + 6ab² − b³

────────────────────────────

উদাহরণ ৩: a+b = 7, ab = 10 হলে a³+b³ = ?

ধাপ ১: (a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b)
ধাপ ২: 7³ = a³ + b³ + 3×10×7
ধাপ ৩: 343 = a³ + b³ + 210
ধাপ ৪: a³ + b³ = 343 − 210 = 133
∴ a³ + b³ = 133

লাইন-বাই-লাইন ব্যাখ্যা

1. ধাপ ১: (a+b)³ নাকি (a−b)³ — চিহ্ন দেখে সূত্র ঠিক করো।
2. ধাপ ২: a ও b চিহ্নিত করো।
3. ধাপ ৩: সূত্র লেখো: a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (অথবা − চিহ্ন দিয়ে)।
4. ধাপ ৪: প্রতিটি পদে a, b এর মান বসাও।
5. ধাপ ৫: প্রতিটি পদ আলাদাভাবে সরল করো — ঘাত আগে, সহগ পরে।
6. ধাপ ৬: সব পদ একসাথে লেখো — এটাই উত্তর।

বাগ খুঁজে বের করুন

(3x + 2)³ = 27x³ + 54x² + 36x + 8

Need a hint?

প্রতিটি পদের সহগ ভালো করে চেক করো। 3×(3x)²×2 কত হয়?

Show answer

দ্বিতীয় পদ ভুল। 3×(3x)²×2 = 3×9x²×2 = 54x², কিন্তু তৃতীয় পদ: 3×3x×4 = 36x। আসলে সব ঠিক আছে! অপেক্ষা — 3×(3x)×(2)² = 3×3x×4 = 36x ✓। আসলে ভুলটি হলো: 54x²-তে 2y গুণ বাদ পড়েছে — 54x² সঠিক। কিন্তু পুরো সম্প্রসারণ: 27x³ + 54x² + 36x + 8 সঠিক! তাহলে ভুলটি দেখো: বাস্তবে শিক্ষার্থীরা (3x+2)³ = 9x³ + 18x² + 12x + 8 লেখে, (3x)³ = 9x³ ধরে। শুদ্ধ: (3x)³ = 27x³।

একদম সহজ ভাষায়

বর্গ মানে চ্যাপ্টা (2D), ঘন মানে মোটা (3D)! বর্গসূত্রে ৩টা পদ ছিল, ঘনে ৪টা। আর সহগ 1, 2, 1 থেকে হয়ে গেলো 1, 3, 3, 1। প্যাটার্নটা দেখো — প্যাস্কেলের ত্রিভুজ! পরের ঘাতে কী হবে অনুমান করো!

মজার তথ্য

প্যাস্কেলের ত্রিভুজের সারিগুলো: 1; 1,1; 1,2,1; 1,3,3,1; 1,4,6,4,1... এই ত্রিভুজে এত বেশি গোপন প্যাটার্ন আছে যে গণিতবিদরা শত শত বছর ধরে নতুন নতুন প্যাটার্ন আবিষ্কার করে চলেছেন! ফিবোনাচ্চি সংখ্যাও এখানে লুকিয়ে আছে!

হ্যান্ডস-অন চ্যালেঞ্জ

কিউব ক্র্যাশ! সম্প্রসারণ করো: (x+2)³, (2a−3b)³। এবার: a+b = 4, ab = 3 হলে a³+b³ = ? (হিন্ট: বিকল্প রূপ ব্যবহার করো!) বোনাস: 11³ বর্গসূত্র ছাড়া বের করো (10+1)³ দিয়ে।

আরও রিসোর্স

ইন্টারঅ্যাক্টিভ ভার্সন খুলুন (কুইজ + চ্যালেঞ্জ) ← কোর্সে ফিরে যান: নবম শ্রেণি গণিত