মধ্যপদ বিশ্লেষণ

বাস্তব জীবনের উদাহরণ

কী এটি?

মধ্যপদ বিশ্লেষণ হলো ax² + bx + c আকারের রাশির মাঝের পদকে (bx) দুটো ভাগে ভেঙে পুরো রাশিটাকে দুটো উৎপাদকে ভাঙা। কৌশলটা হলো এমন দুটো সংখ্যা খুঁজে বের করা যাদের যোগফল = b আর গুণফল = a×c।

বাস্তব প্রয়োগ

বাংলাদেশের কৃষকরা জমির ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে এই ধারণা ব্যবহার করেন। যদি একটি আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল x²+5x+6 বর্গমিটার হয়, তাহলে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হবে (x+3) ও (x+2) মিটার।

মূল পয়েন্টসমূহ

• মধ্যপদ বিশ্লেষণ কী? — ax² + bx + c আকারের ত্রিপদী রাশির মাঝের পদ bx কে দুটি পদে (px + qx) ভাঙা, যেখানে p × q = a × c এবং p + q = b। এরপর গ্রুপিং করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা হয়।
• ধাপে ধাপে পদ্ধতি — ধাপ ১: a, b, c চিহ্নিত করো। ধাপ ২: a×c গুণফল বের করো। ধাপ ৩: এমন দুটি সংখ্যা খোঁজো যাদের গুণফল ac ও যোগফল b। ধাপ ৪: মাঝের পদ ভেঙে গ্রুপিং করো।
• যখন c ঋণাত্মক — c ঋণাত্মক হলে p ও q এর একটি ধনাত্মক, আরেকটি ঋণাত্মক হবে। তাদের পার্থক্য হবে b।
• যখন a ≠ 1 (শীর্ষ সহগ ১ নয়) — a ≠ 1 হলে হিসাব একটু বেশি, কিন্তু পদ্ধতি একই। ac এর গুণফল বড় হতে পারে, তাই ধৈর্য ধরে সংখ্যাজোড় খোঁজো।
• ⚠️ সাধারণ ভুল: গ্রুপিংয়ে ভুল — গ্রুপিংয়ের সময় দুই গ্রুপ থেকে একই বন্ধনী বের হওয়া উচিত। যদি না হয়, তাহলে পদগুলো অন্যভাবে সাজাও বা চিহ্ন ভুল হয়েছে কি না দেখো।
• সংখ্যাজোড় দ্রুত খোঁজার কৌশল — ac এর গুণনীয়কগুলো ক্রমানুসারে লেখো এবং কোন জোড়ার যোগফল b হয় দেখো। ছোট থেকে শুরু করো।
• যখন b ঋণাত্মক কিন্তু c ধনাত্মক — b 0 হলে p ও q দুটোই ঋণাত্মক হবে। কারণ ঋণাত্মক × ঋণাত্মক = ধনাত্মক (ac > 0) এবং ঋণাত্মক + ঋণাত্মক = ঋণাত্মক (b < 0)।
• যাচাই করার উপায় — উৎপাদক পাওয়ার পর FOIL (First, Outer, Inner, Last) দিয়ে গুণ করে মূল রাশি পাচ্ছ কি না চেক করো। পরীক্ষায় এটি করলে নম্বর কাটা যাওয়ার ভয় থাকে না।
• পরীক্ষার ধরন — পরীক্ষায় সাধারণত 'মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো' বলা হয়। ধাপে ধাপে লেখো: ac বের করো, সংখ্যাজোড় দেখাও, ভাঙো, গ্রুপ করো।

কোড উদাহরণ

উদাহরণ ১: x² + 7x + 10 উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো

ধাপ ১: a=1, b=7, c=10, ac=10
ধাপ ২: সংখ্যাজোড় খুঁজি: 5×2=10, 5+2=7 ✓
ধাপ ৩: x² + 5x + 2x + 10
ধাপ ৪: x(x+5) + 2(x+5)
ধাপ ৫: (x+5)(x+2)
∴ x² + 7x + 10 = (x+5)(x+2)

────────────────────────────

উদাহরণ ২: 2x² − 5x − 3 উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো

ধাপ ১: a=2, b=−5, c=−3, ac=−6
ধাপ ২: সংখ্যাজোড়: (−6)×1=−6, −6+1=−5 ✓
ধাপ ৩: 2x² − 6x + x − 3
ধাপ ৪: 2x(x−3) + 1(x−3)
ধাপ ৫: (x−3)(2x+1)
∴ 2x² − 5x − 3 = (x−3)(2x+1)

────────────────────────────

উদাহরণ ৩: 6x² + x − 12 উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো

ধাপ ১: a=6, b=1, c=−12, ac=−72
ধাপ ২: সংখ্যাজোড়: 9×(−8)=−72, 9+(−8)=1 ✓
ধাপ ৩: 6x² + 9x − 8x − 12
ধাপ ৪: 3x(2x+3) − 4(2x+3)
ধাপ ৫: (2x+3)(3x−4)
∴ 6x² + x − 12 = (2x+3)(3x−4)

লাইন-বাই-লাইন ব্যাখ্যা

1. 1. ধাপ ১: রাশিটি ax² + bx + c আকারে আছে কি? a, b, c চিহ্নিত করো।
2. 2. ধাপ ২: ac এর মান বের করো (প্রথম ও শেষ সহগের গুণফল)।
3. 3. ধাপ ৩: এমন দুটি সংখ্যা p, q খোঁজো যেন p×q = ac এবং p+q = b।
4. 4. ধাপ ৪: bx কে px + qx আকারে ভাঙো।
5. 5. ধাপ ৫: ৪ পদকে ২+২ গ্রুপে ভাগ করো।
6. 6. ধাপ ৬: প্রতিটি গ্রুপ থেকে সাধারণ গুণনীয়ক বের করো।
7. 7. ধাপ ৭: সাধারণ বন্ধনী বের করে উৎপাদক লেখো।

বাগ খুঁজে বের করুন

x² + 3x − 10 = (x+5)(x+2)

একদম সহজ ভাষায়

মজার তথ্য

হ্যান্ডস-অন চ্যালেঞ্জ

আরও রিসোর্স

• মধ্যপদ বিশ্লেষণ (10 Minute School)
• Factoring Trinomials (Math is Fun)
• Factoring by Grouping (Khan Academy)