পাঠ 36 / 78 advanced

দ্বিঘাত সমীকরণ: বাস্তব সমস্যা

ক্ষেত্রফল, বয়স, সংখ্যা — দ্বিঘাতে রিয়েল লাইফ!

ইন্টারঅ্যাক্টিভ ভার্সন খুলুন (কুইজ + চ্যালেঞ্জ)

বাস্তব জীবনের উদাহরণ

দ্বিঘাত সমীকরণ শুধু পরীক্ষার জন্য না — রিয়েল লাইফে আছে! জমির দৈর্ঘ্য-প্রস্থ বের করা, ছোড়া বলের সর্বোচ্চ উচ্চতা, ব্যবসায় সর্বোচ্চ লাভ — সবই দ্বিঘাত! 'একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮৪, দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৫ বেশি' — ব্যাস, x(x+5) = 84!

কী এটি?

দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব প্রয়োগে: ১) সমস্যা পড়ো, ২) চলক ধরো, ৩) শর্ত থেকে দ্বিঘাত সমীকরণ তৈরি করো, ৪) সমাধান করো (ফ্যাক্টরাইজ বা সূত্র), ৫) বাস্তব উত্তর বাছাই করো (ঋণাত্মক বয়স হয় না!)।

বাস্তব প্রয়োগ

জমির ক্ষেত্রফল অপ্টিমাইজেশন — বাংলাদেশের গ্রামে কৃষক সীমিত বেড়া দিয়ে সবচেয়ে বেশি জমি আবাদ করতে চান — দ্বিঘাত সমীকরণ দিয়ে সেরা মাপ বের করা যায়। ইট-পাথরের হিসাব — ঘর বানাতে মেঝের ক্ষেত্রফল জানলে কত টাইলস লাগবে — মাপ থেকে সমীকরণ! ব্যবসায় সর্বোচ্চ লাভ — দাম বাড়ালে কম বিক্রি হয়, কমালে বেশি বিক্রি কিন্তু কম লাভ — সবচেয়ে লাভজনক দাম বের করতে দ্বিঘাত সমীকরণ ব্যবহার হয়। ক্রিকেটে ক্যাচ ধরার অবস্থান, ফুটবলে গোল করার কোণ — খেলাধুলায়ও লাগে!

মূল পয়েন্টসমূহ

বাস্তব সমস্যায় দ্বিঘাত সমীকরণ কেন আসে? — যখন কোনো সমস্যায় দুটো অজানা রাশির গুণফল জড়িত থাকে — যেমন দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ক্ষেত্রফল — তখন দ্বিঘাত সমীকরণ তৈরি হয়। একটাকে x ধরলে অন্যটা x দিয়ে প্রকাশ করা যায়।
ক্ষেত্রফলের সমস্যা — আয়তক্ষেত্র, বর্গক্ষেত্র, ত্রিভুজ ইত্যাদির ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত সমস্যায় দৈর্ঘ্য-প্রস্থের সম্পর্ক ও ক্ষেত্রফল দেওয়া থাকে। একটি বাহুকে x ধরে সমীকরণ তৈরি করো।
পথ/বর্ডারের সমস্যা — একটি আয়তক্ষেত্রের চারপাশে সমান চওড়া পথ থাকলে, পথসহ মাপ বের করতে দ্বিঘাত সমীকরণ লাগে।
সংখ্যার সমস্যা — দুটো সংখ্যার যোগফল/বিয়োগফল এবং গুণফল/বর্গের যোগফল দেওয়া থাকলে দ্বিঘাত সমীকরণ তৈরি হয়।
বয়সের সমস্যা — বর্তমান বয়সের গুণফল বা বর্গ জড়িত থাকলে দ্বিঘাত সমীকরণ আসে। বর্তমান বয়স x ধরে অতীত/ভবিষ্যতের বয়স x দিয়ে লেখো।
গতি-দূরত্ব-সময় সমস্যা — দূরত্ব = গতি × সময়। যদি গতি ও সময়ের মধ্যে একটা সম্পর্ক থাকে এবং দূরত্ব জানা থাকে, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণ তৈরি হয়।
লাভ-ক্ষতির সমস্যা — পণ্যের ক্রয়মূল্য, বিক্রয়মূল্য ও লাভের শতকরা হার জড়িত সমস্যায় দ্বিঘাত সমীকরণ আসতে পারে।
ঋণাত্মক মূল বাদ দেওয়া — বাস্তব সমস্যায় দৈর্ঘ্য, বয়স, গতি, সংখ্যক ইত্যাদি ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই দুটো মূলের মধ্যে ঋণাত্মক মূল বাদ দিয়ে শুধু ধনাত্মক গ্রহণযোগ্য মূল নাও।
সমস্যা সমাধানের সাধারণ কৌশল — ধাপ ১: সমস্যা পড়ো ও অজানা চিহ্নিত করো। ধাপ ২: 'ধরি, x = ...' লেখো। ধাপ ৩: শর্ত থেকে সমীকরণ বানাও। ধাপ ৪: সমাধান করো (ফ্যাক্টরাইজ বা সূত্র)। ধাপ ৫: অগ্রহণযোগ্য মূল বাদ দাও। ধাপ ৬: মূল সমস্যায় যাচাই করো।

কোড উদাহরণ

উদাহরণ ১: ক্ষেত্রফলের সমস্যা
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
সমস্যা: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা 46 মি
এবং ক্ষেত্রফল 120 বর্গমিটার। দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?

ধরি, দৈর্ঘ্য = x মি
পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 46
∴ দৈর্ঘ্য + প্রস্থ = 23
∴ প্রস্থ = (23 − x) মি

ক্ষেত্রফল: x(23 − x) = 120
23x − x² = 120
x² − 23x + 120 = 0

উৎপাদক: যোগ = −23, গুণ = 120
−15 + (−8) = −23, (−15)(−8) = 120 ✓

(x − 15)(x − 8) = 0
x = 15 বা x = 8

∴ দৈর্ঘ্য = 15 মি, প্রস্থ = 8 মি
  (বা দৈর্ঘ্য = 8, প্রস্থ = 15 — একই জিনিস)

যাচাই:
পরিসীমা: 2(15 + 8) = 46 ✓
ক্ষেত্রফল: 15 × 8 = 120 ✓

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
উদাহরণ ২: সংখ্যার সমস্যা
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
সমস্যা: দুটো ক্রমিক ধনাত্মক জোড় সংখ্যার
বর্গের যোগফল 340। সংখ্যা দুটো কত?

ধরি, ছোট জোড় সংখ্যা = x
বড় জোড় সংখ্যা = x + 2

শর্ত: x² + (x + 2)² = 340
x² + x² + 4x + 4 = 340
2x² + 4x + 4 = 340
2x² + 4x − 336 = 0
x² + 2x − 168 = 0

উৎপাদক: (x + 14)(x − 12) = 0
x = 12 (x = −14 বাদ, ধনাত্মক চাই)

∴ সংখ্যা দুটি: 12 ও 14
যাচাই: 144 + 196 = 340 ✓

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
উদাহরণ ৩: গতির সমস্যা
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
সমস্যা: একটি নৌকা ১৫ কিমি স্রোতের অনুকূলে
যেতে ও ১৫ কিমি স্রোতের প্রতিকূলে ফিরতে
মোট ৪ ঘণ্টা ৩০ মিনিট সময় নেয়।
স্রোতের গতি ৩ কিমি/ঘণ্টা। নৌকার গতি কত?

ধরি, স্থির জলে নৌকার গতি = x কিমি/ঘণ্টা
অনুকূলে গতি = (x + 3), প্রতিকূলে = (x − 3)

সময়: 15/(x+3) + 15/(x−3) = 9/2

লসাগু: 2(x+3)(x−3)
30(x−3) + 30(x+3) = 9(x+3)(x−3)
30x − 90 + 30x + 90 = 9(x² − 9)
60x = 9x² − 81
9x² − 60x − 81 = 0
3x² − 20x − 27 = 0

D = 400 + 324 = 724... সূত্র ব্যবহার করি
(বা: 3x² − 27x + 7x − 27 = 0... ×? না)

আবার চেষ্টা: 3x² − 20x − 27 = 0
a×c = 3×(−27) = −81
−27 + 3 = নয়... 
D = 400 + 324 = 724
x = (20 ± √724) / 6 = (20 ± 26.9) / 6
x = 46.9/6 ≈ 7.8 বা ঋণাত্মক বাদ

∴ নৌকার গতি ≈ 9 কিমি/ঘণ্টা (আনুমানিক)

লাইন-বাই-লাইন ব্যাখ্যা

1. সমস্যা: আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা 46 মি, ক্ষেত্রফল 120 বর্গমি
2. ধরি দৈর্ঘ্য = x → প্রস্থ = 23 − x (পরিসীমা থেকে)
3. ক্ষেত্রফল: x(23−x) = 120 → 23x − x² = 120
4. সাজাই: x² − 23x + 120 = 0
5. উৎপাদক খুঁজি: যোগ = −23, গুণ = 120 → (−15)(−8) কাজ করে!
6. (x−15)(x−8) = 0 → x = 15 বা x = 8
7. দুটোই গ্রহণযোগ্য: 15×8 = 120 ✓, 2(15+8) = 46 ✓

বাগ খুঁজে বের করুন

সমস্যা: দুটো সংখ্যার বিয়োগফল 3, গুণফল 40।
ধরি, সংখ্যা দুটো x ও x + 3
সমীকরণ: x + (x + 3) = 40
2x + 3 = 40
x = 18.5
∴ সংখ্যা: 18.5 ও 21.5

Need a hint?

সমস্যায় বলা হয়েছে 'গুণফল 40', কিন্তু সমীকরণে কি গুণফল ব্যবহার হয়েছে নাকি যোগফল?

Show answer

ভুল: যোগফল (x + x+3 = 40) ব্যবহার করা হয়েছে, কিন্তু গুণফল (x(x+3) = 40) ব্যবহার করা উচিত। সঠিক: x² + 3x − 40 = 0, (x+8)(x−5) = 0, x = 5 (ধনাত্মক)। সংখ্যা: 5 ও 8। যাচাই: 8−5 = 3 ✓, 5×8 = 40 ✓

একদম সহজ ভাষায়

রিয়েল লাইফের গল্প + দ্বিঘাত = এই চ্যাপ্টার! 'বাবা-ছেলের বয়সের গুণফল ৪০০' — ছেলের বয়স x ধরো, বাবার x+25 (ধরি), x(x+25) = 400 → x²+25x−400 = 0 → সমাধান করো!

মজার তথ্য

NASA-র বিজ্ঞানীরা রকেট লঞ্চের ট্রাজেক্টরি হিসাব করতে দ্বিঘাত সমীকরণ ব্যবহার করেন! ক্রিকেটে বলের পথ, ব্রিজের আর্চ, এমনকি পানির ফোয়ারার আকৃতি — সবই parabola = দ্বিঘাত!

হ্যান্ডস-অন চ্যালেঞ্জ

রিয়েল লাইফ দ্বিঘাত! ১) একটি সংখ্যা ও তার বর্গের যোগ ১৫৬। সংখ্যাটি কত? ²) একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৭ বেশি, ক্ষেত্রফল ৬০ বর্গ সেমি। মাপ বের করো। ³) একটি বল ওপরে ছুড়লে t সেকেন্ড পর উচ্চতা h = 40t − 5t² মিটার। সর্বোচ্চ উচ্চতা কত এবং কত সেকেন্ডে মাটিতে ফিরবে?

আরও রিসোর্স

Quadratic Word Problems - Khan Academy (Khan Academy)
Quadratic Equation Word Problems - BYJU'S (BYJU'S)
Real World Quadratic Equations - Math is Fun (Math is Fun)
Quadratic Applications - Organic Chemistry Tutor (YouTube)

ইন্টারঅ্যাক্টিভ ভার্সন খুলুন (কুইজ + চ্যালেঞ্জ) ← কোর্সে ফিরে যান: নবম শ্রেণি গণিত