ক্রমিক সমানুপাত

বাস্তব জীবনের উদাহরণ

কী এটি?

ক্রমিক সমানুপাত: a:b = b:c, যেখানে b কে মধ্য সমানুপাতী বলে। মূল সম্পর্ক: b² = ac। a ও c জানা থাকলে b = √(ac)। তৃতীয় সমানুপাতী (c) বের করতে: c = b²/a।

বাস্তব প্রয়োগ

ফটোগ্রাফিতে 'Rule of Thirds' ও সোনালি অনুপাত (Golden Ratio) ক্রমিক সমানুপাতের উপর ভিত্তি করে — বাংলাদেশের বিখ্যাত ফটোগ্রাফার শহিদুল আলমের কাজেও এই নীতি দেখা যায়। ব্যাংকে চক্রবৃদ্ধি সুদ (compound interest) আসলে ক্রমিক সমানুপাতের চেইন — প্রতি বছরের সুদ আগের বছরের আসলের সাথে একই অনুপাতে বাড়ে। সঙ্গীতে সপ্তকের (octave) নোটগুলোও জ্যামিতিক গড়ের ভিত্তিতে সাজানো — বাউল গানের একতারাতেও এই গাণিতিক সম্পর্ক আছে! এমনকি ক্যামেরার f-stop সিরিজ (f/1.4, f/2, f/2.8, f/4...) ক্রমিক সমানুপাতে বাড়ে।

মূল পয়েন্টসমূহ

• ক্রমিক সমানুপাত (Continued Proportion) কী — তিনটি রাশি a, b, c ক্রমিক সমানুপাতে থাকলে a:b = b:c। অর্থাৎ প্রথম ও দ্বিতীয়ের অনুপাত = দ্বিতীয় ও তৃতীয়ের অনুপাত। b-কে a ও c এর মধ্য সমানুপাতী বলে।
• মধ্য সমানুপাতী (Mean Proportional) — a ও c এর মধ্য সমানুপাতী b হলে b² = ac, অর্থাৎ b = √(ac)। b হলো a ও c এর জ্যামিতিক গড় (Geometric Mean)।
• তৃতীয় সমানুপাতী (Third Proportional) — a ও b এর তৃতীয় সমানুপাতী c হলে a:b = b:c → c = b²/a। অর্থাৎ ক্রমিক সমানুপাতের তৃতীয় পদ।
• চতুর্থ সমানুপাতী (Fourth Proportional) — a, b, c এর চতুর্থ সমানুপাতী d হলে a:b = c:d → d = bc/a। এটা সাধারণ সমানুপাতের চতুর্থ পদ।
• b² = ac এর প্রমাণ ও ব্যবহার — এটা ক্রমিক সমানুপাতের মূল সূত্র। a:b = b:c থেকে আড়গুণ করলেই পাই b² = ac। এটা দিয়ে তিনটি পদের যেকোনো একটি অজানা থাকলে বের করা যায়।
• ক্রমিক সমানুপাত: বীজগাণিতিক সমস্যা — k ধরে সমস্যা সহজ করা যায়। a:b = b:c = k হলে b = ck, a = bk = ck²। তাহলে a = ck², b = ck, c = c।
• জ্যামিতিক গড় ও পরিসংখ্যান — মধ্য সমানুপাতী আসলে জ্যামিতিক গড় (Geometric Mean)। দুটো সংখ্যার জ্যামিতিক গড় সবসময় তাদের গাণিতিক গড়ের চেয়ে ছোট বা সমান (AM ≥ GM)।
• ক্রমিক সমানুপাত প্রমাণ সমস্যা — a, b, c ক্রমিক সমানুপাতে থাকলে বিভিন্ন রাশি প্রমাণ করতে হয়। কৌশল: b² = ac ব্যবহার করো অথবা a = ck², b = ck রাখো।

কোড উদাহরণ

সমস্যা: 2, x, 18 ক্রমিক সমানুপাতে আছে। x = ?

সমাধান:
a:b = b:c হলে b² = ac

এখানে a = 2, b = x, c = 18
x² = 2 × 18
x² = 36
x = √36
x = 6

∴ x = 6

যাচাই: 2:6 = 6:18
→ 1:3 = 1:3 ✓

──────────────────
সমস্যা ২: 3 ও 12 এর মধ্য সমানুপাতী কত?

সমাধান:
মধ্য সমানুপাতী = √(a × c)
= √(3 × 12)
= √36
= 6

যাচাই: 3:6 = 6:12 → 1:2 = 1:2 ✓

লাইন-বাই-লাইন ব্যাখ্যা

1. 1. x² = 2 × 18 → b² = ac সূত্র ব্যবহার করলাম, কারণ 2, x, 18 ক্রমিক সমানুপাতে আছে
2. 2. x² = 36 → 2 × 18 গুণ করে 36 পেলাম
3. 3. x = √36 = 6 → বর্গমূল নিলাম, ধনাত্মক মান নিই কারণ অনুপাতে ঋণাত্মক হয় না
4. 4. যাচাই: 2:6 = 1:3 এবং 6:18 = 1:3 → দুই অনুপাত সমান, তাই উত্তর সঠিক

বাগ খুঁজে বের করুন

সমস্যা: 8 ও 2 এর মধ্য সমানুপাতী কত?

সমাধান:
মধ্য সমানুপাতী = (8 + 2)/2 = 5    ← ভুল!

একদম সহজ ভাষায়

মজার তথ্য

হ্যান্ডস-অন চ্যালেঞ্জ

আরও রিসোর্স

• Continued Proportion (Cuemath)
• Mean Proportional — Explained (YouTube)
• Geometric Mean (Math is Fun)