জ্যামিতিক ধারা (Geometric Series)
GP — সমান হারে গুণ হতে থাকো!
ইন্টারঅ্যাক্টিভ ভার্সন খুলুন (কুইজ + চ্যালেঞ্জ)বাস্তব জীবনের উদাহরণ
GP হলো ভাইরাল ভিডিওর মতো! তুমি ১ জনকে শেয়ার করলে, সে ৩ জনকে, তারা প্রত্যেকে ৩ জনকে — 1, 3, 9, 27, 81! প্রতিবার ৩ গুণ! AP-তে যোগ হয়, GP-তে গুণ হয়। r = সাধারণ অনুপাত = পরের পদ ÷ আগের পদ!
কী এটি?
জ্যামিতিক ধারায় (GP) পরপর পদের অনুপাত সমান (r)। nতম পদ: aₙ = a × r^(n−1)। প্রথম n পদের যোগফল: Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1) যখন r > 1, বা a(1 − rⁿ)/(1 − r) যখন r < 1। r = 1 হলে Sₙ = na!
বাস্তব প্রয়োগ
ব্যাকটেরিয়ার সংখ্যা প্রতি ঘণ্টায় দ্বিগুণ হয় — এটা GP (r=2)। ব্যাংকে চক্রবৃদ্ধি সুদে টাকা বাড়ে — সেটাও GP। রেডিওঅ্যাক্টিভ পদার্থের ক্ষয়ও GP (r < 1)। বাংলাদেশে মোবাইল ব্যবহারকারীর সংখ্যা প্রতি বছর প্রায় ১.২ গুণ বেড়েছিল — এটাও GP।
মূল পয়েন্টসমূহ
- জ্যামিতিক অনুক্রম চেনার উপায় — পরপর দুটি পদের অনুপাত (ভাগফল) সর্বদা সমান হলে সেটা জ্যামিতিক অনুক্রম (Geometric Progression — GP)। এই সমান অনুপাতকে বলে সাধারণ অনুপাত বা common ratio (r)।
- GP-র সাধারণ রূপ — প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে GP-র পদগুলো: a, ar, ar², ar³, ... প্রতিটা পদ আগের পদের r গুণ।
- nতম পদের সূত্র — GP-র nতম পদ aₙ = a × rⁿ⁻¹। লক্ষ করো: r এর সূচক (n-1), n নয়। কারণ প্রথম পদে r দিয়ে গুণ হয় না।
- ⚠️ ভুল ধারণা: rⁿ লেখা — অনেকে ভুল করে aₙ = a × rⁿ লেখে। কিন্তু সঠিক সূত্র aₙ = a × rⁿ⁻¹। প্রথম পদ a₁ = a × r⁰ = a — এটা দিয়ে যাচাই করো।
- r ভগ্নাংশ বা ঋণাত্মক হতে পারে — r < 1 হলে পদগুলো ছোট হতে থাকে। r ঋণাত্মক হলে পদগুলো পর্যায়ক্রমে ধনাত্মক ও ঋণাত্মক হয়।
- যোগফলের সূত্র (r ≠ 1) — প্রথম n পদের যোগফল Sₙ = a(rⁿ - 1)/(r - 1) যখন r > 1, অথবা Sₙ = a(1 - rⁿ)/(1 - r) যখন r < 1। দুটো আসলে একই, শুধু লেখার সুবিধার জন্য আলাদা।
- AP বনাম GP তুলনা — AP-তে পার্থক্য সমান (যোগ/বিয়োগ), GP-তে অনুপাত সমান (গুণ/ভাগ)। AP বাড়ে ধীরে ধীরে, GP বাড়ে খুব দ্রুত (exponential growth)।
- GP থেকে r বা a বের করা — দুটি পদ জানা থাকলে ভাগ করে r বের করা যায়। তারপর a বের করা সহজ।
- 📝 পরীক্ষার ধরন: তিনটি সংখ্যা GP-তে — তিনটি সংখ্যা a, b, c GP-তে থাকলে b² = ac। এটি জ্যামিতিক মধ্যক (geometric mean) — পরীক্ষায় ঘুরেফিরে আসে।
কোড উদাহরণ
সমস্যা: একটি GP-র ২য় পদ ৬ এবং ৫ম পদ ১৬২। প্রথম ৬ পদের যোগফল বের করো।
ধাপ ১: সূত্র থেকে সমীকরণ তৈরি
a₂ = ar = ৬ ...(i)
a₅ = ar⁴ = ১৬২ ...(ii)
ধাপ ২: r বের করা
(ii)÷(i): r³ = ১৬২/৬ = ২৭
r = ³√২৭ = ৩
ধাপ ৩: a বের করা
(i) থেকে: a × ৩ = ৬
a = ২
ধাপ ৪: S₆ বের করা
Sₙ = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
S₆ = ২(৩⁶ - ১)/(৩ - ১)
= ২(৭২৯ - ১)/২
= ৭২৮
∴ প্রথম ৬ পদের যোগফল = ৭২৮লাইন-বাই-লাইন ব্যাখ্যা
- 1. ধাপ ১: ২য় পদ (ar) ও ৫ম পদ (ar⁴) জানা আছে — দুটি সমীকরণ পাই।
- 2. ধাপ ২: ভাগ করে a বাদ দিই: ar⁴/ar = r³। r³ = ২৭ থেকে r = ৩।
- 3. ধাপ ৩: r = ৩ বসিয়ে a = ২ পাই।
- 4. ধাপ ৪: a = ২, r = ৩, n = ৬ যোগফলের সূত্রে বসাই। ৩⁶ = ৭২৯, তাই S₆ = ২ × ৭২৮/২ = ৭২৮।
বাগ খুঁজে বের করুন
GP: ২, ৬, ১৮, ... এর ৫ম পদ বের করো:
aₙ = a × rⁿ
a₅ = ২ × ৩⁵ = ২ × ২৪৩ = ৪৮৬Need a hint?
r এর সূচক n নাকি (n-1)?
Show answer
ভুল: rⁿ ব্যবহার করা হয়েছে। সঠিক সূত্র aₙ = a × rⁿ⁻¹। তাই a₅ = ২ × ৩⁴ = ২ × ৮১ = ১৬২।
একদম সহজ ভাষায়
2, 6, 18, 54... — প্রতিবার ৩ গুণ! এটাই GP। প্রথমটা (a) আর গুণ (r) জানলে: nতম পদ = a × r^(n−1)!
মজার তথ্য
দাবা আবিষ্কারের কিংবদন্তি: রাজা বললেন 'কী পুরস্কার চাও?' আবিষ্কারক বললেন, 'প্রথম ঘরে ১ দানা চাল, দ্বিতীয়তে ২, তৃতীয়তে ৪...' ৬৪ ঘরে মোট = 2⁶⁴ − 1 ≈ ১৮.৪ কোয়িন্টিলিয়ন দানা! পৃথিবীর সব চালের চেয়ে বেশি! GP-র শক্তি!
হ্যান্ডস-অন চ্যালেঞ্জ
GP চ্যালেঞ্জ! ১) 3, 6, 12, 24... এর ১০ম পদ? ²) প্রথম পদ ২, সাধারণ অনুপাত ৩ — প্রথম ৫ পদের যোগফল? ³) একটি ব্যাকটেরিয়া প্রতি ঘণ্টায় দ্বিগুণ হয়। ১টা থেকে শুরু করলে ১০ ঘণ্টা পর কতটা হবে?
আরও রিসোর্স
- Geometric Series (Khan Academy)
- Geometric Sequences (Math is Fun)
- Geometric Sequence Visualizer (GeoGebra)