ত্রিভুজের সদৃশতা উপপাদ্য

বাস্তব জীবনের উদাহরণ

কী এটি?

দুটো ত্রিভুজ সদৃশ যদি: ১) AA (দুই জোড়া কোণ সমান), ²) SAS (দুই জোড়া বাহু সমানুপাতিক + অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান), ³) SSS (তিন জোড়া বাহু সমানুপাতিক)। সদৃশ হলে: সমরূপ বাহুর অনুপাত সমান, সমরূপ কোণ সমান!

বাস্তব প্রয়োগ

বাংলাদেশের ভূমি জরিপে (Land Survey) সদৃশতা ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। একটি বড় জমির মানচিত্র তৈরি করতে সদৃশ ত্রিভুজ ব্যবহার করা হয় — ছোট স্কেলে আঁকা মানচিত্র আর আসল জমি সদৃশ। ছায়া মেপে গাছ বা মিনারের উচ্চতা বের করা যায় — তোমার ছায়া আর গাছের ছায়া সদৃশ ত্রিভুজ তৈরি করে! যমুনা সেতুর মডেল বানাতে, জাহাজের নকশা ছোট আকারে বানাতে — সবখানেই সদৃশতা।

মূল পয়েন্টসমূহ

• সদৃশ ত্রিভুজ কী? — দুটি ত্রিভুজ সদৃশ (Similar) হয় যদি তাদের অনুরূপ কোণগুলো সমান এবং অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক হয়। △ABC ~ △DEF মানে ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F এবং AB/DE = BC/EF = CA/FD।
• AA সদৃশতা (Angle-Angle) — দুটি ত্রিভুজের দুটি কোণ যথাক্রমে সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সদৃশ। কারণ তৃতীয় কোণ স্বয়ংক্রিয়ভাবে সমান হয়ে যায় (কোণের সমষ্টি 180°)। এটি সবচেয়ে সহজ শর্ত।
• SAS সদৃশতা (Side-Angle-Side) — দুটি ত্রিভুজের একটি কোণ সমান এবং সেই কোণ সংলগ্ন দুটি বাহু সমানুপাতিক হলে ত্রিভুজ দুটি সদৃশ। যেমন AB/DE = AC/DF এবং ∠A = ∠D হলে △ABC ~ △DEF।
• SSS সদৃশতা (Side-Side-Side) — দুটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু যথাক্রমে সমানুপাতিক হলে ত্রিভুজ দুটি সদৃশ। AB/DE = BC/EF = CA/FD হলে △ABC ~ △DEF। অনুপাত সমান কিনা তা যাচাই করো।
• সমানুপাতিক বাহুর অনুপাত — সদৃশ ত্রিভুজে বাহুর অনুপাতকে সদৃশতা অনুপাত (Scale Factor) বলে। যদি অনুপাত k হয়, তাহলে বড় ত্রিভুজের প্রতিটি বাহু = ছোট ত্রিভুজের বাহু × k।
• ক্ষেত্রফলের অনুপাত = (বাহুর অনুপাত)² — যদি দুটি সদৃশ ত্রিভুজের বাহুর অনুপাত k:1 হয়, তাহলে ক্ষেত্রফলের অনুপাত k²:1। যেমন বাহু ২ গুণ হলে ক্ষেত্রফল ৪ গুণ, বাহু ৩ গুণ হলে ক্ষেত্রফল ৯ গুণ।
• BPT: মৌলিক সমানুপাতিক উপপাদ্য — ত্রিভুজের একটি বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অপর দুই বাহুকে সমানুপাতিকভাবে ভাগ করে। △ABC-তে DE ∥ BC হলে AD/DB = AE/EC। এটি সদৃশতার একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ।
• সদৃশতা ও সর্বসমতার পার্থক্য — সর্বসম (Congruent) ত্রিভুজ = একই আকৃতি + একই মাপ। সদৃশ (Similar) ত্রিভুজ = একই আকৃতি কিন্তু মাপ ভিন্ন হতে পারে। সব সর্বসম ত্রিভুজ সদৃশ, কিন্তু সব সদৃশ ত্রিভুজ সর্বসম নয়।
• AA সদৃশতার প্রমাণ কৌশল — ধাপ ১: দুটি কোণ সমান দেখাও। ধাপ ২: তৃতীয় কোণ সমান (180° নিয়ম)। ধাপ ৩: ∴ ত্রিভুজ দুটি সদৃশ (AA)। ধাপ ৪: সমানুপাতিক বাহু লেখো। সবসময় কোণগুলো সঠিক ক্রমে মেলাও।

কোড উদাহরণ

সমস্যা: একটি গাছের ছায়া ১৫ মিটার। একই সময়ে ১.৫ মি
 লম্বা একজন ব্যক্তির ছায়া ২.৫ মিটার। গাছের উচ্চতা কত?

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
সমাধান:
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ধাপ ১: সদৃশ ত্রিভুজ চিনি
  সূর্যরশ্মি সমান্তরাল → উভয় ত্রিভুজে একই কোণ
  ভূমিতে সমকোণ (৯০°)
  ∴ AA সদৃশতায় △গাছ ~ △ব্যক্তি

ধাপ ২: সমানুপাতিক বাহু লিখি
  গাছের উচ্চতা / ব্যক্তির উচ্চতা = গাছের ছায়া / ব্যক্তির ছায়া
  h / 1.5 = 15 / 2.5

ধাপ ৩: h নির্ণয়
  h = 1.5 × 15 / 2.5
  h = 22.5 / 2.5
  h = 9

∴ গাছের উচ্চতা = ৯ মিটার

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ক্ষেত্রফলের অনুপাত:
  বাহুর অনুপাত = 15/2.5 = 6
  ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 6² = 36
  গাছের ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ব্যক্তির ত্রিভুজের ৩৬ গুণ

লাইন-বাই-লাইন ব্যাখ্যা

1. 1. সমস্যায় গাছ ও ব্যক্তি — দুটোই মাটিতে লম্বভাবে দাঁড়িয়ে আছে, তাই দুটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয়েছে
2. 2. সূর্যরশ্মি সমান্তরাল বলে দুটি ত্রিভুজে সূর্যকোণ সমান — AA সদৃশতা প্রতিষ্ঠিত
3. 3. সদৃশ ত্রিভুজে অনুরূপ বাহু সমানুপাতিক — উচ্চতা/উচ্চতা = ছায়া/ছায়া
4. 4. h/1.5 = 15/2.5 — আড়াআড়ি গুণ (cross multiply) করি: h × 2.5 = 1.5 × 15
5. 5. h = 22.5/2.5 = 9 মিটার — সদৃশতা দিয়ে সরাসরি গাছে না উঠেই উচ্চতা পেলাম!
6. 6. ক্ষেত্রফলের অনুপাত = (বাহুর অনুপাত)² = 6² = 36 — এটি সদৃশতার গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল

বাগ খুঁজে বের করুন

△ABC ~ △DEF, AB = 6, DE = 9, BC = 8
EF নির্ণয়:
AB/DE = EF/BC
6/9 = EF/8
EF = 48/9 = 5.33

একদম সহজ ভাষায়

মজার তথ্য

হ্যান্ডস-অন চ্যালেঞ্জ

আরও রিসোর্স

• Similar Triangles — Khan Academy (Khan Academy)
• Similar Triangles — Math is Fun (Math is Fun)
• Similarity Practice Problems (Math is Fun)