বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও পরিধি
πr² আর 2πr — বৃত্তের জাদু সংখ্যা π!
ইন্টারঅ্যাক্টিভ ভার্সন খুলুন (কুইজ + চ্যালেঞ্জ)বাস্তব জীবনের উদাহরণ
বৃত্তের ক্ষেত্রফল (πr²) আর পরিধি (2πr) — দুটোতেই π আছে! π ≈ 3.14159... মানে বৃত্তের পরিধি তার ব্যাসের ৩.১৪ গুণ — সব বৃত্তেই! পিৎজা ছোট হোক বা বড়, পরিধি/ব্যাস সবসময় π! বৃত্তকলা (sector) হলো পিৎজার স্লাইস — ক্ষেত্রফল θ/360° × πr²!
কী এটি?
বৃত্তের পরিধি = 2πr (বা πd)। ক্ষেত্রফল = πr²। বৃত্তকলার (sector) ক্ষেত্রফল = (θ/360°) × πr², চাপের দৈর্ঘ্য = (θ/360°) × 2πr। π ≈ 22/7 বা 3.14159... ব্যবহার করো!
বাস্তব প্রয়োগ
বাংলাদেশের গ্রামে বৃত্তাকার পুকুরের ক্ষেত্রফল জানা দরকার মাছ চাষের জন্য — পুকুরের ব্যাসার্ধ মেপে πr² দিয়ে মোট এলাকা পাওয়া যায়। রিকশা বা সাইকেলের চাকা একবার ঘুরলে কত দূরত্ব যায় — পরিধি = 2πr। ১২ ইঞ্চি পিৎজা ও ৮ ইঞ্চি পিৎজার দামের তুলনা — ১২ ইঞ্চির ক্ষেত্রফল ৮ ইঞ্চির ২.২৫ গুণ! বাংলাদেশে ক্রিকেট মাঠের ইনার সার্কেলের (৩০ গজ) ক্ষেত্রফল বের করতেও এই সূত্র!
মূল পয়েন্টসমূহ
- বৃত্তের পরিধি (Circumference) — পরিধি = 2πr = πd, যেখানে r = ব্যাসার্ধ, d = ব্যাস = 2r। π (পাই) ≈ 3.1416 বা 22/7 (আসন্ন)। পরিধি হলো বৃত্তের চারদিকে মোট দূরত্ব — চাকা একবার ঘুরলে যতটুকু পথ যায়।
- বৃত্তের ক্ষেত্রফল (Area) — ক্ষেত্রফল = πr²। ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ হলে ক্ষেত্রফল ৪ গুণ হয় (r² এর কারণে)। মনে রাখো: ক্ষেত্রফলে r², পরিধিতে r — গুলিয়ে ফেলো না!
- চাপের দৈর্ঘ্য (Arc Length) — কেন্দ্রীয় কোণ θ° হলে চাপের দৈর্ঘ্য = (θ/360) × 2πr। পুরো বৃত্ত = 360° = পুরো পরিধি। অর্ধবৃত্তের চাপ = (180/360) × 2πr = πr।
- সেক্টরের ক্ষেত্রফল (Sector Area) — সেক্টর = বৃত্তের 'পিৎজা স্লাইস'। ক্ষেত্রফল = (θ/360) × πr²। θ = কেন্দ্রীয় কোণ। চতুর্থাংশ বৃত্ত (90°): ক্ষেত্রফল = πr²/4। অর্ধবৃত্ত (180°): ক্ষেত্রফল = πr²/2।
- বৃত্তকলা (Segment) এর ক্ষেত্রফল — বৃত্তকলা = সেক্টর − ত্রিভুজ। জ্যা দ্বারা বিভক্ত বৃত্তের অংশ = বৃত্তকলা। ক্ষেত্রফল = সেক্টরের ক্ষেত্রফল − ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (θ/360)πr² − ½r²sinθ।
- বলয়ের ক্ষেত্রফল (Annulus) — দুটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের মধ্যবর্তী অংশ = বলয়। ক্ষেত্রফল = π(R² − r²), যেখানে R = বড় ব্যাসার্ধ, r = ছোট ব্যাসার্ধ। বৃত্তাকার পুকুরের পাড়ের ক্ষেত্রফল এভাবে বের হয়।
- π এর মান ও ব্যবহার — π = 3.14159265... (অমূলদ সংখ্যা, কখনো শেষ হয় না)। পরীক্ষায় π = 22/7 বা 3.14 ব্যবহার করো (প্রশ্নে যা বলে)। π সবখানে — বৃত্ত, গোলক, বেলন, শঙ্কু — সব বক্র আকৃতিতে!
- ব্যাসার্ধ থেকে ক্ষেত্রফল ও পরিধি — r জানলে: ক্ষেত্রফল = πr², পরিধি = 2πr। ক্ষেত্রফল জানলে: r = √(ক্ষেত্রফল/π)। পরিধি জানলে: r = পরিধি/(2π)।
কোড উদাহরণ
সমস্যা: একটি বৃত্তাকার পুকুরের ব্যাসার্ধ ১৪ মিটার।
(ক) পরিধি ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
(খ) পুকুরের চারদিকে ৩ মিটার চওড়া পাড় আছে — পাড়ের ক্ষেত্রফল কত?
(গ) ৯০° কোণে একটি সেক্টরের ক্ষেত্রফল কত?
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
সমাধান: (π = 22/7)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
(ক) পরিধি = 2πr = 2 × (22/7) × 14
= 2 × 22 × 2 = 88 মিটার
ক্ষেত্রফল = πr² = (22/7) × 14²
= (22/7) × 196 = 22 × 28 = 616 বর্গ মিটার
(খ) পাড়সহ ব্যাসার্ধ R = 14 + 3 = 17 মিটার
পাড়সহ ক্ষেত্রফল = πR² = (22/7) × 17²
= (22/7) × 289 = 908.57 বর্গ মিটার
পাড়ের ক্ষেত্রফল = π(R² − r²)
= 908.57 − 616
= 292.57 বর্গ মিটার
(গ) সেক্টরের ক্ষেত্রফল = (θ/360) × πr²
= (90/360) × 616
= ¼ × 616 = 154 বর্গ মিটারলাইন-বাই-লাইন ব্যাখ্যা
- 1. পুকুরের ব্যাসার্ধ r = 14 মি., π = 22/7 ধরি (14 এর সাথে 7 সুন্দরভাবে কাটে)
- 2. পরিধি = 2 × (22/7) × 14 = 2 × 44 = 88 মি. — পুকুরের চারদিকে হাঁটলে 88 মি.
- 3. ক্ষেত্রফল = (22/7) × 196 = 616 ব.মি. — পুকুরের মোট পানির উপরিভাগ
- 4. পাড়সহ বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ R = 14+3 = 17 মি.
- 5. পাড়ের ক্ষেত্রফল = বড় বৃত্ত − ছোট বৃত্ত = π(R²−r²) = 292.57 ব.মি.
- 6. 90° সেক্টর = পুরো বৃত্তের 90/360 = 1/4 অংশ = 616/4 = 154 ব.মি.
বাগ খুঁজে বের করুন
বৃত্তের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ হলে:
নতুন পরিধি = 2 × আগের পরিধি ✓
নতুন ক্ষেত্রফল = 2 × আগের ক্ষেত্রফলNeed a hint?
ক্ষেত্রফলে r আছে নাকি r²?
Show answer
ভুল: ক্ষেত্রফল 2 গুণ নয়, 4 গুণ হয়! πr² → π(2r)² = 4πr²। পরিধি 2πr → 2π(2r) = 2×(2πr) → 2 গুণ ঠিক, কিন্তু ক্ষেত্রফল 4 গুণ।
একদম সহজ ভাষায়
পরিধি (বাইরের লাইন) = 2πr = π × ব্যাস। ক্ষেত্রফল (ভিতরের জায়গা) = πr²। π ≈ 22/7 ≈ 3.14 ধরে হিসাব করো!
মজার তথ্য
π দিবস পালিত হয় মার্চ ১৪ (3/14)! গুগলের একজন এমপ্লয়ি π-র ১০০ ট্রিলিয়ন ডিজিট বের করেছেন (২০২২)। π এর মধ্যে তোমার ফোন নম্বর, জন্মতারিখ — সব সংখ্যার সিকোয়েন্স লুকিয়ে আছে বলে ধারণা করা হয়!
হ্যান্ডস-অন চ্যালেঞ্জ
π প্র্যাকটিস! ১) ব্যাসার্ধ 7 সেমি → পরিধি ও ক্ষেত্রফল? (π=22/7), ²) ব্যাস 20 সেমি → ক্ষেত্রফল? ³) 90° সেক্টরের ক্ষেত্রফল (r=14)? ⁴) একটি চাকার ব্যাসার্ধ 35 সেমি — ১ কিমি যেতে কতবার ঘুরবে?
আরও রিসোর্স
- Circle Area & Circumference (Khan Academy)
- Circle Area — Math is Fun (Math is Fun)
- Sector and Arc (Math is Fun)