সহসমীকরণ কী?

বাস্তব জীবনের উদাহরণ

কী এটি?

সহসমীকরণ হলো দুই বা ততোধিক সমীকরণ যেখানে একই চলকগুলো (x, y) আছে এবং দুটো সমীকরণ একসাথে সত্য। সমাধান হলো x ও y এর সেই মান যেটা দুটো সমীকরণকেই সন্তুষ্ট করে!

বাস্তব প্রয়োগ

তুমি যখন বিকাশে ক্যাশ আউট করো — এজেন্টের কমিশন আর তোমার পাওনা দুটো অজানা, মোট টাকা আর কমিশন রেট দিয়ে সহসমীকরণ তৈরি হয়। মোবাইল অপারেটর (গ্রামীণফোন, রবি) যখন দুটো প্যাকেজের দাম ও ডাটা তুলনা করে সেরাটা বেছে নেওয়া — এটাও সহসমীকরণ। দোকানদার যখন ভাবে '৫টা শার্ট আর ৩টা প্যান্ট বিক্রি করে ৫০০০ টাকা পেলাম, ২টা শার্ট আর ৪টা প্যান্ট বিক্রি করে ৪০০০ পেলাম' — সহসমীকরণ সমাধান করলেই প্রতিটির দাম জানা যায়। অর্থনীতিতে চাহিদা (demand) ও যোগান (supply) রেখার ছেদবিন্দুই বাজারদর নির্ধারণ করে — এটাও সহসমীকরণ!

মূল পয়েন্টসমূহ

• একটি সমীকরণে দুটি চলক — x + y = 10 সমীকরণে x ও y-এর অনেক মান সম্ভব: (1,9), (2,8), (3,7)... অর্থাৎ একটি সমীকরণ দিয়ে দুটো অজানা রাশির নির্দিষ্ট মান বের করা যায় না। অসংখ্য সমাধান থাকে।
• দুটি সমীকরণ কেন দরকার — দুটো চলকের জন্য দুটো স্বতন্ত্র (independent) সমীকরণ দরকার। প্রতিটি সমীকরণ একটি শর্ত দেয়। দুটো শর্ত একসাথে মানলে একটাই সমাধান পাওয়া যায় (সাধারণত)।
• সহসমীকরণ (Simultaneous Equations) এর সংজ্ঞা — দুটি (বা ততোধিক) সমীকরণ যেগুলো একই চলকগুলো ব্যবহার করে এবং একই সাথে সত্য হতে হবে — তাদের সহসমীকরণ বলে। সমাধান মানে এমন মান বের করা যেটা সব সমীকরণকে একসাথে সিদ্ধ করে।
• সাধারণ রূপ (General Form) — দুই চলকের রৈখিক সহসমীকরণের সাধারণ রূপ: a₁x + b₁y + c₁ = 0 এবং a₂x + b₂y + c₂ = 0। এখানে a, b সহগ (coefficients) এবং c ধ্রুবক (constant)।
• রৈখিক (Linear) কেন বলে — সমীকরণে x ও y-এর সর্বোচ্চ ঘাত 1 বলে এদের রৈখিক (linear) সমীকরণ বলে। গ্রাফে এরা সরলরেখা দেয়। x² বা xy থাকলে সেটা রৈখিক নয়।
• সমাধান কী বোঝায় — সহসমীকরণের সমাধান হলো (x, y) এর এমন একটি জোড়া যা উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ (satisfy) করে। জ্যামিতিকভাবে, এটা দুটো সরলরেখার ছেদবিন্দু।
• সমীকরণ তৈরি করা (Formulation) — শাব্দিক সমস্যা থেকে সমীকরণ তৈরি করতে: (1) অজানা রাশিগুলোকে x, y ধরো, (2) সম্পর্কগুলো সমীকরণে রূপান্তর করো, (3) সহসমীকরণ হিসেবে সমাধান করো।
• সঙ্গতি ও অসঙ্গতি (Consistent & Inconsistent) — সহসমীকরণ সঙ্গত (consistent) হলে সমাধান আছে। অসঙ্গত (inconsistent) হলে কোনো সমাধান নেই — গ্রাফে দুটো রেখা সমান্তরাল।
• নির্ভরশীল সমীকরণ — দুটো সমীকরণ আসলে একই সমীকরণ হলে (একটা অন্যটার গুণিতক) — অসংখ্য সমাধান থাকে। এদের নির্ভরশীল (dependent) বলে।
• সমাধানের শ্রেণীবিভাগ — a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ হলে একটি মাত্র সমাধান (ছেদকারী রেখা)। a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ হলে কোনো সমাধান নেই (সমান্তরাল রেখা)। a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ হলে অসংখ্য সমাধান (একই রেখা)।

কোড উদাহরণ

সমস্যা: ৩টি কলম ও ২টি খাতার দাম ১৫০ টাকা।
২টি কলম ও ৩টি খাতার দাম ১৫৫ টাকা।
প্রতিটি কলম ও খাতার দাম কত?

সমাধান:
ধরি, কলমের দাম = x টাকা, খাতার দাম = y টাকা

সমীকরণ:
3x + 2y = 150  ... (i)
2x + 3y = 155  ... (ii)

(i) থেকে: 3x = 150 - 2y
            x = (150 - 2y)/3  ... (iii)

(iii) কে (ii) তে বসাই:
2 × (150 - 2y)/3 + 3y = 155
(300 - 4y)/3 + 3y = 155
300 - 4y + 9y = 465     (3 দিয়ে গুণ)
300 + 5y = 465
5y = 165
y = 33

(iii) থেকে: x = (150 - 2×33)/3
           x = (150 - 66)/3
           x = 84/3
           x = 28

∴ কলমের দাম = 28 টাকা, খাতার দাম = 33 টাকা

যাচাই:
(i): 3(28) + 2(33) = 84 + 66 = 150 ✓
(ii): 2(28) + 3(33) = 56 + 99 = 155 ✓

লাইন-বাই-লাইন ব্যাখ্যা

1. 1. 3x + 2y = 150 ... (i) → প্রথম শর্ত: ৩ কলম + ২ খাতা = ১৫০ টাকা
2. 2. 2x + 3y = 155 ... (ii) → দ্বিতীয় শর্ত: ২ কলম + ৩ খাতা = ১৫৫ টাকা
3. 3. x = (150-2y)/3 → (i) থেকে x-কে y-এর মাধ্যমে প্রকাশ করলাম
4. 4. (ii) তে বসিয়ে: 2(150-2y)/3 + 3y = 155 → এখন শুধু y আছে, সমাধান করি
5. 5. 5y = 165, y = 33 → খাতার দাম পেলাম
6. 6. x = (150-66)/3 = 28 → y বসিয়ে x পেলাম
7. 7. যাচাই: দুটো সমীকরণেই (28,33) বসিয়ে দেখলাম — দুটোই সত্য!

বাগ খুঁজে বের করুন

সমস্যা: x + y = 10, 2x + 2y = 20
একটি মাত্র সমাধান বের করো।

সমাধান:
x + y = 10 → x = 10 - y
2(10-y) + 2y = 20
20 - 2y + 2y = 20
20 = 20    ← ???
∴ x = 10, y = 0

একদম সহজ ভাষায়

মজার তথ্য

হ্যান্ডস-অন চ্যালেঞ্জ

আরও রিসোর্স

• Simultaneous Equations — Intro (Khan Academy)
• Systems of Linear Equations (Math is Fun)
• সহসমীকরণ — বাংলা (YouTube)