প্রতিস্থাপন ও নিরসন পদ্ধতি

বাস্তব জীবনের উদাহরণ

কী এটি?

প্রতিস্থাপন: একটা সমীকরণ থেকে একটা চলক (x বা y) অন্যটার সাপেক্ষে বের করো, তারপর অন্য সমীকরণে বসাও। নিরসন: সহগ সমান করে যোগ/বিয়োগ করে একটা চলক বাদ দাও। দুটো পদ্ধতিতেই একই উত্তর আসে!

বাস্তব প্রয়োগ

মোবাইল রিচার্জ তুলনা — গ্রামীণফোনের একটি প্যাকেজে ১ জিবি + ৫০ মিনিট = ৯৯ টাকা, অন্যটায় ২ জিবি + ৩০ মিনিট = ১২৯ টাকা। প্রতি জিবি আর প্রতি মিনিটের আলাদা দাম কত? সহসমীকরণ! ব্যবসায়ী যখন দুটো পণ্যের মিশ্র দাম থেকে আলাদা দাম বের করেন, দোকানে যখন হিসাব মেলান — সবখানে এই পদ্ধতি। এমনকি BUET-র ভর্তি পরীক্ষায় সহসমীকরণ আসে — যত দ্রুত সমাধান করতে পারবে তত সুবিধা। প্রতিস্থাপন নাকি নিরসন — সঠিক পদ্ধতি বেছে নিলে ৩০ সেকেন্ডে সমাধান হয়, ভুল পদ্ধতিতে ৩ মিনিট লাগে!

মূল পয়েন্টসমূহ

• প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Substitution Method) — একটি সমীকরণ থেকে একটি চলককে অন্য চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করো। তারপর এই মানটি দ্বিতীয় সমীকরণে বসাও। এখন একটিমাত্র চলকের সমীকরণ পাবে — সমাধান করো।
• কখন প্রতিস্থাপন ভালো — যখন কোনো একটি সমীকরণে একটি চলকের সহগ ১ বা -১ হয়, তখন প্রতিস্থাপন সবচেয়ে সহজ। কারণ সরাসরি x = ... বা y = ... লেখা যায়, ভগ্নাংশ আসে না।
• নিরসন পদ্ধতি (Elimination Method) — দুটি সমীকরণ যোগ বা বিয়োগ করে একটি চলককে বাদ (eliminate) করো। এজন্য যে চলকটি বাদ দিতে চাও, তার সহগ দুটি সমীকরণে সমান (বা বিপরীত) করতে হতে পারে।
• সহগ সমান করে নিরসন — যদি কোনো চলকের সহগ সরাসরি সমান না হয়, তাহলে উপযুক্ত সংখ্যা দিয়ে গুণ করে সমান করো। তারপর যোগ বা বিয়োগ করো।
• কখন নিরসন ভালো — যখন দুটো সমীকরণেই চলকগুলোর সহগ বড় বা ভগ্নাংশ আসার সম্ভাবনা থাকে, তখন নিরসন পদ্ধতি ভালো। বিশেষত সহগ ইতিমধ্যে সমান বা গুণিতক হলে খুব সহজ হয়ে যায়।
• বিশেষ ক্ষেত্র: যোগ করে নিরসন — যদি একটি চলকের সহগ দুটো সমীকরণে সমান ও বিপরীত চিহ্নের হয়, তাহলে যোগ করলেই সেই চলক বাদ যায়।
• সমাধান যাচাই — সমাধান পাওয়ার পর অবশ্যই দুটো সমীকরণেই মান বসিয়ে যাচাই করো। একটাতে সত্য হলেই যথেষ্ট নয় — দুটোতেই সত্য হতে হবে।
• ভগ্নাংশ সহগের ক্ষেত্রে — সমীকরণে ভগ্নাংশ থাকলে প্রথমে হরের লসাগু দিয়ে গুণ করে ভগ্নাংশ দূর করো। তারপর প্রতিস্থাপন বা নিরসন প্রয়োগ করো।
• দুটো পদ্ধতির তুলনা — প্রতিস্থাপন: একটি চলক প্রকাশ → দ্বিতীয়তে বসানো। নিরসন: সহগ সমান করে যোগ/বিয়োগ। উভয়ে একই উত্তর দেয়। পরীক্ষায় যেকোনোটা ব্যবহার করতে পারো।

কোড উদাহরণ

পদ্ধতি ১: প্রতিস্থাপন (Substitution)
──────────────────────────
সমীকরণ: x + 2y = 8 ... (i)
        3x - y = 3  ... (ii)

ধাপ ১: (i) থেকে x = 8 - 2y

ধাপ ২: (ii) তে বসাই:
3(8 - 2y) - y = 3
24 - 6y - y = 3
24 - 7y = 3
7y = 21
y = 3

ধাপ ৩: x = 8 - 2(3) = 2
∴ x = 2, y = 3

══════════════════════════
পদ্ধতি ২: নিরসন (Elimination)
──────────────────────────
সমীকরণ: x + 2y = 8  ... (i)
        3x - y = 3   ... (ii)

ধাপ ১: y বাদ করতে (ii) × 2:
(ii) × 2: 6x - 2y = 6  ... (iii)

ধাপ ২: (i) + (iii):
x + 2y + 6x - 2y = 8 + 6
7x = 14
x = 2

ধাপ ৩: (i) তে: 2 + 2y = 8
2y = 6, y = 3

∴ x = 2, y = 3 (একই উত্তর!)

যাচাই:
(i): 2 + 2(3) = 2 + 6 = 8 ✓
(ii): 3(2) - 3 = 6 - 3 = 3 ✓

লাইন-বাই-লাইন ব্যাখ্যা

1. 1. প্রতিস্থাপন: (i) থেকে x = 8-2y → x-কে y দিয়ে প্রকাশ করলাম কারণ x-এর সহগ 1
2. 2. (ii) তে বসাই: 3(8-2y)-y = 3 → এখন শুধু y আছে, একটি চলকের সমীকরণ
3. 3. 24-7y = 3, y = 3 → সরলীকরণ করে y পেলাম
4. 4. x = 8-2(3) = 2 → y বসিয়ে x পেলাম
5. 5. নিরসন: (ii)×2 করে 6x-2y=6 → y-এর সহগ ±2 করতে 2 দিয়ে গুণ করলাম
6. 6. (i)+(iii): 7x=14, x=2 → যোগ করলে y বাদ গেল
7. 7. দুটো পদ্ধতিতেই x=2, y=3 → একই উত্তর আসতেই হবে!

বাগ খুঁজে বের করুন

সমস্যা: 2x + 3y = 12, 4x + 6y = 30

নিরসন:
(ii) - 2×(i):
4x+6y - 4x-6y = 30-24
0 = 6

∴ x = 6, y = 0

একদম সহজ ভাষায়

মজার তথ্য

হ্যান্ডস-অন চ্যালেঞ্জ

আরও রিসোর্স

• Substitution Method — Step by Step (Khan Academy)
• Elimination Method (Khan Academy)
• Solving Simultaneous Equations (Math is Fun)