পাঠ 77 / 78 intermediate

কেন্দ্রীয় প্রবণতা: গড়, মধ্যক, প্রচুরক

গড়, মধ্যক, প্রচুরক — তিন রাজা!

ইন্টারঅ্যাক্টিভ ভার্সন খুলুন (কুইজ + চ্যালেঞ্জ)

বাস্তব জীবনের উদাহরণ

ধরো ক্লাসে গণিতে সবার নম্বর: 30, 40, 50, 60, 100। গড় (Mean) = সবার নম্বর যোগ করে ভাগ = 56। মধ্যক (Median) = মাঝেরটা = 50। প্রচুরক (Mode) = সবচেয়ে বেশিবার যেটা এসেছে। তিনটাই 'কেন্দ্রীয় প্রবণতা' মাপে — কিন্তু আলাদা কোণ থেকে!

কী এটি?

গড় (Mean) = ∑x / n — সব মান যোগ করে পদ সংখ্যা দিয়ে ভাগ। মধ্যক (Median) = মানগুলো ক্রমে সাজিয়ে মাঝেরটা (জোড় হলে মাঝের দুটোর গড়)। প্রচুরক (Mode) = সবচেয়ে বেশি ফ্রিকোয়েন্সির মান। গ্রুপ ডেটায় সূত্র আলাদা!

বাস্তব প্রয়োগ

বাংলাদেশের মাথাপিছু আয় (Per Capita Income) গড় দিয়ে হিসাব করা হয় — কিন্তু ধনী-দরিদ্রের ব্যবধান বুঝতে মধ্যক আয় বেশি কার্যকর। পরীক্ষায় ক্লাসের গড় নম্বর শিক্ষক জানতে চান। জুতার দোকানে কোন সাইজ বেশি রাখতে হবে — প্রচুরক দেখে সিদ্ধান্ত নেয়। সাকিব আল হাসানের ব্যাটিং গড় — ক্রিকেটে পারফরম্যান্স মাপতে গড় ব্যবহৃত হয়। বাংলাদেশে মোবাইল ফোনের গড় দাম, মধ্যক দাম, সবচেয়ে বেশি বিক্রি হওয়া দামের ফোন (প্রচুরক) — তিনটি ভিন্ন তথ্য দেয়।

মূল পয়েন্টসমূহ

গড় (Mean/Average) — গাণিতিক গড় = সব তথ্যের যোগফল ÷ তথ্যের সংখ্যা। সূত্র: x̄ = Σxᵢ/n। গড় সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত কেন্দ্রীয় প্রবণতা। কিন্তু চরম মান (outlier) থাকলে গড় বিভ্রান্তিকর হতে পারে।
বিন্যস্ত তথ্যের গড় — গণসংখ্যা সারণি থেকে গড় = Σ(fᵢxᵢ)/Σfᵢ, যেখানে fᵢ = গণসংখ্যা, xᵢ = শ্রেণি মধ্যমান। প্রতিটি শ্রেণির মধ্যমান × গণসংখ্যা গুণ করে যোগ করো, তারপর মোট গণসংখ্যা দিয়ে ভাগ করো।
মধ্যক (Median) — তথ্যগুলো ছোট থেকে বড় ক্রমে সাজালে মাঝের মান = মধ্যক। n বিজোড় হলে: মধ্যম পদ = (n+1)/2 তম পদ। n জোড় হলে: মাঝের দুটি পদের গড়। মধ্যক চরম মান দ্বারা প্রভাবিত হয় না!
বিন্যস্ত তথ্যের মধ্যক — মধ্যক শ্রেণি খোঁজো: যোগজ গণসংখ্যায় n/2 কোথায় পড়ে। সূত্র: মধ্যক = L + [(n/2 − cf)/f] × h, যেখানে L = মধ্যক শ্রেণির নিম্নসীমা, cf = পূর্ববর্তী যোগজ গণসংখ্যা, f = মধ্যক শ্রেণির গণসংখ্যা, h = শ্রেণি ব্যবধান।
প্রচুরক (Mode) — সবচেয়ে বেশিবার আসা মান = প্রচুরক। একটি তথ্যের একাধিক প্রচুরক থাকতে পারে (bimodal, multimodal)। কোনো মান সমান সংখ্যক বার আসলে প্রচুরক নেই।
বিন্যস্ত তথ্যের প্রচুরক — সর্বোচ্চ গণসংখ্যার শ্রেণি = প্রচুরক শ্রেণি। সূত্র: প্রচুরক = L + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h, যেখানে f₁ = প্রচুরক শ্রেণির গণসংখ্যা, f₀ = আগের শ্রেণির, f₂ = পরের শ্রেণির।
কোনটা কখন ব্যবহার করবে? — গড়: তথ্য সমানভাবে ছড়ানো হলে (পরীক্ষার নম্বর)। মধ্যক: চরম মান থাকলে (আয়/বেতন)। প্রচুরক: সবচেয়ে জনপ্রিয় মান জানতে (জুতার সাইজ, প্রিয় রং)। তিনটি মিলে সম্পূর্ণ ছবি পাওয়া যায়।
গড়, মধ্যক, প্রচুরকের সম্পর্ক — প্রতিসম বিন্যাসে: গড় = মধ্যক = প্রচুরক। ডান দিকে ঝোঁক থাকলে: গড় > মধ্যক > প্রচুরক। বাম দিকে ঝোঁক থাকলে: প্রচুরক > মধ্যক > গড়। আনুমানিক সম্পর্ক: প্রচুরক ≈ 3 × মধ্যক − 2 × গড়।

কোড উদাহরণ

সমস্যা: নিচের গণসংখ্যা সারণি থেকে গড়, মধ্যক ও প্রচুরক নির্ণয় করো।

 শ্রেণি    | গণসংখ্যা (f)
 0-10     |    4
 10-20    |    7
 20-30    |   12
 30-40    |   10
 40-50    |    7
          | Σf = 40

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
গড় নির্ণয়:
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
 শ্রেণি | মধ্যমান(x) | f  | fx
 0-10  |     5      |  4 |  20
 10-20 |    15      |  7 | 105
 20-30 |    25      | 12 | 300
 30-40 |    35      | 10 | 350
 40-50 |    45      |  7 | 315
                    | 40 | 1090

গড় = Σfx / Σf = 1090 / 40 = 27.25

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
মধ্যক নির্ণয়:
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
n/2 = 40/2 = 20
যোগজ গণসংখ্যা: 4, 11, 23, 33, 40
20 পড়ে 20-30 শ্রেণিতে (11 < 20 ≤ 23)

মধ্যক = L + [(n/2 − cf)/f] × h
= 20 + [(20 − 11)/12] × 10
= 20 + [9/12] × 10
= 20 + 7.5 = 27.5

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
প্রচুরক নির্ণয়:
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
সর্বোচ্চ গণসংখ্যা = 12 → প্রচুরক শ্রেণি 20-30
f₁ = 12, f₀ = 7, f₂ = 10, L = 20, h = 10

প্রচুরক = 20 + [(12−7)/(2×12−7−10)] × 10
= 20 + [5/7] × 10
= 20 + 7.14 = 27.14

লাইন-বাই-লাইন ব্যাখ্যা

1. গড়: প্রতিটি শ্রেণির মধ্যমান × গণসংখ্যা = fx — তারপর Σfx/Σf = 1090/40 = 27.25
2. মধ্যক: n/2 = 20 — যোগজ গণসংখ্যায় 20 খুঁজি: 4, 11, 23... → 20 পড়ে 20-30 শ্রেণিতে
3. মধ্যক সূত্রে L=20, cf=11 (আগের যোগজ), f=12, h=10 → 20 + (9/12)×10 = 27.5
4. প্রচুরক: সর্বোচ্চ গণসংখ্যা 12 → শ্রেণি 20-30 → f₁=12, f₀=7, f₂=10
5. প্রচুরক = 20 + (5/7)×10 = 27.14 — গড় ≈ মধ্যক ≈ প্রচুরক → প্রায় প্রতিসম বিন্যাস!
6. তিনটি মান কাছাকাছি হওয়ায় তথ্য মোটামুটি সমানভাবে বিন্যস্ত বলা যায়

বাগ খুঁজে বের করুন

তথ্য: 10, 20, 30, 40, 50, 60
মধ্যক = (6+1)/2 = 3.5 তম পদ
= 3য় পদ = 30

Need a hint?

3.5 তম পদ মানে কী? 3য় ও 4র্থ পদ দিয়ে কী করতে হবে?

Show answer

ভুল: n জোড় হলে মধ্যক = (n/2 তম + n/2+1 তম পদের গড়)। তাই মধ্যক = (30+40)/2 = 35, শুধু 30 নয়।

একদম সহজ ভাষায়

গড় = সব যোগ করে সমান ভাগ। মধ্যক = সাজিয়ে মাঝেরটা নাও। প্রচুরক = সবচেয়ে বেশিবার এসেছে কোনটা। তিনটা আলাদা — কোনো সেটে তিনটাই আলাদা মান হতে পারে!

মজার তথ্য

ক্রিকেটে ব্যাটসম্যানের 'গড়' (average) দিয়ে তার দক্ষতা মাপা হয়। কিন্তু সাকিবের ব্যাটিং গড় আর তার 'সবচেয়ে বেশি করা রান' (mode) কিন্তু অনেক আলাদা! তাই শুধু গড় দেখলে পুরো ছবি পাবে না!

হ্যান্ডস-অন চ্যালেঞ্জ

তিন রাজা বের করো! ডেটা: 15, 20, 20, 25, 30, 35, 20, 40, 45, 50। ১) গড় = ? ²) মধ্যক = ? (ক্রমে সাজাও!) ³) প্রচুরক = ? ⁴) যদি 50 এর বদলে 500 হতো, গড় কত বদলাতো? মধ্যক বদলাতো? কোনটা বেশি 'স্থিতিশীল'?

আরও রিসোর্স

Mean, Median, Mode — Khan Academy (Khan Academy)
Mean, Median, Mode — Math is Fun (Math is Fun)
Central Tendency Practice (Math is Fun)

ইন্টারঅ্যাক্টিভ ভার্সন খুলুন (কুইজ + চ্যালেঞ্জ) ← কোর্সে ফিরে যান: নবম শ্রেণি গণিত